Configuration
On considère deux droites sécantes en un point A. Deux droites parallèles coupent ces sécantes en B, M sur l'une et C, N sur l'autre, avec (BC) parallèle à (MN).
Énoncé
Si (BC) // (MN), alors les longueurs sont proportionnelles :
AB / AM = AC / AN = BC / MN
Exemple : calculer une longueur
Soit AM = 8 cm, AB = 6 cm et MN = 10 cm. On veut BC.
- D'après Thalès : BC / MN = AB / AM
- BC / 10 = 6 / 8
- BC = 10 × 6 / 8 = 7,5 cm
Réciproque
Si les points A, B, M sont alignés dans le même ordre que A, C, N, et si AB / AM = AC / AN, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. On utilise la réciproque pour démontrer un parallélisme.
Contraposée (montrer que ce n'est pas parallèle)
Si AB / AM ≠ AC / AN, alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles. Très utile dans les exercices de brevet.
Erreurs fréquentes
- Oublier de vérifier que les points sont alignés dans le même ordre avant d'appliquer la réciproque.
- Mélanger les longueurs : il faut toujours partir du sommet commun (ici A).
- Appliquer Thalès sans le parallélisme : la rédaction doit commencer par « Comme (BC) // (MN), d'après le théorème de Thalès… ».